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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

UFPA – Cálculo I – Listas de Exercícios 01 – Questão 7d

Determine se a equação dada é exata. Se for, encontre a solução.

d ) 2 x y 2 + 2 y + 2 x 2 y + 2 x y ' = 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial

2 x y 2 + 2 y + 2 x 2 y + 2 x y ' = 0

Para resolvê-la vamos montar a nossa equação do tipo

M x , y d x + N x , y d y = 0

É só trocar y ' = d y d x e multiplicar tudo por d x ! E agora?

Para verificar se é exata precisamos verificar se

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Se isso foi verificado então teremos uma solução do tipo

u x , y

E que satisfaz

M x , y = ∂ u ∂ x ,   N x , y = ∂ u ∂ y

Beleza?

A ideia aqui é integrar ou M ou N , achar u . Depois derivar em relação à outra variável e comparar para ver qual é a função faltante, integrar e achar a função completa!

Teremos algo do tipo

u x , y = C

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

2 x y 2 + 2 y + 2 x 2 y + 2 x y ' = 0

trocando y ' = d y d x e multiplicando tudo por d x temos

2 x y 2 + 2 y d x + 2 x 2 y + 2 x d y = 0

Temos que

M = 2 x y 2 + 2 y , ∂ M ∂ y = 4 x y + 2

N = 2 x 2 y + 2 x , ∂ N ∂ x = 4 x y + 2

oba! Temos uma equação exata!

Tudo bem até aqui? Agora precisamos achar nossa solução u !

Passo 3

Agora que sabemos que nossa equação é exata dizemos que

M = 2 x y 2 + 2 y = ∂ u ∂ x

Integrando em relação a x temos

∫ 2 x y 2 + 2 y d x = ∫ ∂ u ∂ x d x

x 2 y 2 + 2 y x + f y = u ( x , y )

Beleza? Agora para descobrir quem é essa constante em y , vamos derivar nossa solução em relação à y e comparar com N !

∂ u ∂ y = 2 x 2 y + 2 x + f ' y = 2 x 2 y + 2 x = N

Assim

f ' y = 0

E agora integrar dos dois lados

∫ d f = ∫ 0   d y

f y = c t e

Por simplicidade vamos dizer que f y = 0

E retomar nossa solução geral u ( x , y )

x 2 y 2 + 2 y x + f y = u ( x , y )

x 2 y 2 + 2 y x = u x , y = C

x 2 y 2 + 2 y x = C

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

x 2 y 2 + 2 y x = C

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