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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

UFPA – Cálculo I – Listas de Exercícios 01 – Questão 7g

Determine se a equação dada é exata. Se for, encontre a solução.

g ) e x sin ⁡ y - 2 y sin ⁡ x d x + e x cos ⁡ y + 2 cos ⁡ x d y = 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial

e x sin ⁡ y - 2 y sin ⁡ x d x + e x cos ⁡ y + 2 cos ⁡ x d y = 0

Para resolvê-la vamos montar a nossa equação do tipo

M x , y d x + N x , y d y = 0

Ok, mas e agora?

Para verificar se é exata precisamos verificar se

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Se isso foi verificado então teremos uma solução do tipo

u x , y

E que satisfaz

M x , y = ∂ u ∂ x ,   N x , y = ∂ u ∂ y

Beleza?

A ideia aqui é integrar ou M ou N , achar u . Depois derivar em relação à outra variável e comparar para ver qual é a função faltante, integrar e achar a função completa!

Teremos algo do tipo

u x , y = C

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

e x sin ⁡ y - 2 y sin ⁡ x d x + e x cos ⁡ y + 2 cos ⁡ x d y = 0

Temos que

M = e x sin ⁡ y - 2 y sin ⁡ x , ∂ M ∂ y = e x cos ⁡ y - 2 sin ⁡ x

N = e x cos ⁡ y + 2 cos ⁡ x , ∂ N ∂ x = e x cos ⁡ y - 2 sin ⁡ x

oba! Temos uma equação exata!

Tudo bem até aqui? Agora precisamos achar nossa solução u !

Passo 3

Agora que sabemos que nossa equação é exata dizemos que

M = e x sin ⁡ y - 2 y sin ⁡ x = ∂ u ∂ x

Integrando em relação a x temos

∫ e x sin ⁡ y - 2 y sin ⁡ x d x = ∫ ∂ u ∂ x d x

e x sin ⁡ y + 2 y cos ⁡ x + f y = u ( x , y )

Beleza? Agora para descobrir quem é essa constante em y , vamos derivar nossa solução em relação à y e comparar com N !

∂ u ∂ y = e x cos ⁡ y + 2 cos ⁡ x + f ' y = e x cos ⁡ y + 2 cos ⁡ x = N

Achamos

f ' y = 0 → f = c t e

E por simplicidade vamos admitir essa constante zero.

Ok?

E retomar nossa solução geral u ( x , y )

e x sin ⁡ y + 2 y cos ⁡ x + f y = u ( x , y )

e x sin ⁡ y + 2 y cos ⁡ x = u x , y = C

e x sin ⁡ y + 2 y cos ⁡ x = C

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

e x sin ⁡ y + 2 y cos ⁡ x = C

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