UFRJ – Cálculo 2 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem – Questão 1b
Determine se a equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem é linear
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão fala sobre ordem e linearidade de uma equação diferencial, então antes de qualquer coisa vamos relembrar o que são esses conceitos?
- Ordem: a ordem de uma equação diferencial é dada pela derivada de maior ordem. Por exemplo
- Linearidade: vamos começar com alguns exemplos:
Vejamos algumas similaridades:
- Tanto as derivadas de quanto o próprio não estão elevados ao quadrado, ao cubo ou qualquer outro expoente...
- Os coeficientes que aparecem multiplicando as derivadas de e o próprio dependem apenas de
Então podemos generalizar da seguinte forma:
Para que uma equação diferencial seja linear ela precisa satisfazer esses dois itens:
- Uma edo é linear se a variável dependente e as suas derivadas que aparecem na equação estão elevadas ao expoente 1
- Os coeficientes que multiplicam a variável dependente e multiplicam as suas derivadas dependem apenas da variável independente
Satisfazendo essas duas condições dizemos que a equação é: LINEAR
E quando falhar em alguma (ou as duas) delas? Chamamos de: NÃO-LINEAR
Sabendo disso, agora nossa missão é classificar a equação diferencial dada!
Bora lá!
Passo 2
Passo 3
Nossa EDO
Sabemos que ela é de primeira ordem porque nossa maior derivada é a primeira (e também disse no enunciado)
E agora a linearidade: os coeficientes não dependem apenas de , temos que a derivada está lá no argumento da exponencial
Beleza?
Isso significa que nossa EDO não é linear!
Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!