Determine o maior intervalo em que os problemas de valor inicial abaixo têm solução

d) (t^2 - t) * (dy / dt) + (t + 3) * y = cos(t), y(2) = y0

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial

t 2 - t d y d t + t + 3 y = cos ⁡ t

E pergunta qual é o maior intervalo em que o problema de valor inicial tem solução

E agora? Como resolver?

Para verificar o maior intervalo, precisamos verificar se há descontinuidades. Então o primeiro passo é deixar a equação no seguinte formato

d y d t + f t y = g t

Beleza?

A ideia aqui é verificar onde essa equação tem uma descontinuidade (por exemplo divisão por zero) para retirar esses pontos! E com isso vamos verificar onde o ponto da condição inicial está contido e pegar o maior intervalo!

Esse será o intervalo que queremos!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos dividir toda equação pelo coeficiente da derivada

t 2 - t d y d t + t + 3 y = cos ⁡ t

d y d t + t + 3 t 2 - t y = cos ⁡ t t 2 - t

Temos que essa equação não está definida em

t 2 - t = 0

t t - 1 = 0 → t = 0 ,   t = 1

Ou seja

- ∞ , 0 o u   0,1 o u ( 1 , + ∞ )

oba! Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora vamos ver em que intervalo está contida nossa condição inicial

y 2 = y 0

Temos que t = 2 então dos intervalos possíveis

- ∞ , 0 o u   0,1 o u ( 1 , + ∞ )

Esse ponto está no intervalo mais à direita

( 1 , + ∞ )

Beleza? Esse é o maior intervalo de definição!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

( 1 , + ∞ )

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