Determine os pontos (t_0, y_0) , para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial dy/dx = f(t, y) , y(t_0) = y_0 tem solução única.

(c) Se f(t, y) = y^2 / (t^2 + y^2);

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar os pontos   ( t 0 ,   y 0 ) , para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial d y d x   =   f ( t ,   y ) , y ( t 0 ) = y 0 tem solução única.

Sendo   f ( t ,   y )   = y 2 t 2 + y 2 ;

Temos pelo teorema de existência e unicidade que se f ( t ,   y ) e ∂ ∂ t f ( t ,   y ) forem contínuas na região triangular a ≤   t   ≤   b e c   ≤   y   ≤   d do plano t   y , então existe um intervalo I centrado em ( t 0 ,   y 0 ) e uma única função y ( t ) definida em I que satisfaz o nosso problema de valor inicial.

Então vamos verificar quais são os intervalos que f ( t ,   y ) e ∂ ∂ t f ( t ,   y ) são contínuas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular ∂ ∂ t f ( t ,   y ) :

∂ ∂ t f ( t ,   y ) = ∂ ∂ t y 2 t 2 + y 2 = - 2 y 2 t ( t 2 + y 2 ) 2

Como t 2 + y 2 está no denominador esse termo deve ser diferente de zero.

Passo 3

Olhando para f ( t ,   y ) = y 2 t 2 + y 2 , também temos que t 2 + y 2 está no denominador e deve ser diferente de zero.

Passo 4

Então para o problema de valor inicial d y d x   =   f ( t ,   y ) , y ( t 0 ) = y 0 ter solução única temos que

t 2 + y 2 ≠ 0

sendo ( t 0 ,   y 0 ) contido nesse intervalo.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da solução.

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