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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

UFPA, Sem Campus, Cálculo I - Profº João Rodrigues - Lista de Exercícios 01, Questão 9f

Determine os pontos   ( t 0 ,   y 0 ) , para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial d y d x   =   f ( t ,   y ) , y ( t 0 ) = y 0 tem solução única.

(f) Se   f ( t ,   y )   = 2 y t y - t 2 ;

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar os pontos   ( t 0 ,   y 0 ) , para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial d y d x   =   f ( t ,   y ) , y ( t 0 ) = y 0 tem solução única.

Sendo   f ( t ,   y )   = 2 y t y - t 2 ;

Temos pelo teorema de existência e unicidade que se f ( t ,   y ) e ∂ ∂ t f ( t ,   y ) forem contínuas na região triangular a ≤   t   ≤   b e c   ≤   y   ≤   d do plano t   y , então existe um intervalo I centrado em ( t 0 ,   y 0 ) e uma única função y ( t ) definida em I que satisfaz o nosso problema de valor inicial.

Então vamos verificar quais são os intervalos que f ( t ,   y ) e ∂ ∂ t f ( t ,   y ) são contínuas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular ∂ ∂ t f ( t ,   y ) :

∂ ∂ t f ( t ,   y ) = ∂ ∂ t 2 y t y - t 2 = 2 y ( y - t 2 ) - 2 y t ( - 2 t ) ( y - t 2 ) 2 = 2 y 2 + 2 y t 2 ( y - t 2 ) 2

Como temos y - t 2 no denominador temos que:

y - t 2 ≠ 0

t 2 ≠ y .

Passo 3

Olhando para f ( t ,   y ) = 2 y t y - t 2 , temos y - t 2 no denominador então a restrição se repete:

y - t 2 ≠ 0

t 2 ≠ y .

Passo 4

Então para o problema de valor inicial d y d x   =   f ( t ,   y ) , y ( t 0 ) = y 0 ter solução única temos

t ≠ ± y

sendo ( t 0 ,   y 0 ) contido nesse intervalo.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da solução.

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