UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 2 - Equações lineares, Bernoulli e separáveis, Questão 2.1
Determine as regiões do plano nas quais as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs de primeira ordem são satisfeitas:
Passo 1
E aí gente, tudo bom?
Então, nessa questão recebemos uma equação diferencial dada por:
Sobre essa equação, o enunciado nos pede para determinar as regiões do plano cartesiano nas quais as hipóteses do teorema de existência e unicidade são válidas. Vocês lembram desse teorema?
Basicamente, ele fala que se temos a equação diferencial dada por:
Se e são contínuas em uma região do plano , então existe uma região do plano em que há uma única solução do PVI.
Portanto, nós vamos analisar em qual intervalo temos e contínuas para a partir deles encontrar a região do plano da nossa única solução.
Vem comigo que vai ficar bem claro 😉
Passo 2
Bom, recebemos que:
Comparando com o nosso teorema, temos que:
Assim, vamos analisar onde a função é contínua.
O grande problema dessa solução está no denominador, que não pode ser nulo. Assim:
Beleza, a nossa região do plano em que é contínua está em exceto pela reta:
Excelente!
Passo 3
Vamos agora analisar a continuidade de . Para isso precisamos primeiro calcular essa derivada parcial:
Temos então a razão de duas funções:
Usando a regra do quociente:
Temos que:
E:
Daí:
Olha que legal, derivamos a expressão, mas o problema da descontinuidade permanece no denominador. Assim, a região do plano em que é contínua também está em:
Portanto, essa é a região em que garantimos que as hipóteses do teorema da existência e unicidade serão obedecidas:
Prontinho!!
Curtiram a solução? Responde Aí!