Determine as regiões do plano t y nas quais as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs de primeira ordem são satisfeitas:

1. y' = (t - y) / (2t + 5y)

Passo 1

E aí gente, tudo bom?

Então, nessa questão recebemos uma equação diferencial dada por:

y ' = t - y 2 t + 5 y

Sobre essa equação, o enunciado nos pede para determinar as regiões do plano cartesiano t y nas quais as hipóteses do teorema de existência e unicidade são válidas. Vocês lembram desse teorema?

Basicamente, ele fala que se temos a equação diferencial dada por:

d y d t = f ( y , t )

Se f ( y , t ) e ∂ f ∂ y são contínuas em uma região do plano t y , então existe uma região do plano em que há uma única y ( t ) solução do PVI.

Portanto, nós vamos analisar em qual intervalo temos f e ∂ f / ∂ y contínuas para a partir deles encontrar a região do plano da nossa única solução.

Vem comigo que vai ficar bem claro 😉

Passo 2

Bom, recebemos que:

y ' = t - y 2 t + 5 y

Comparando com o nosso teorema, temos que:

f y , t = t - y 2 t + 5 y

Assim, vamos analisar onde a função f ( y , t ) é contínua.

O grande problema dessa solução está no denominador, que não pode ser nulo. Assim:

2 t + 5 y ≠ 0

∴ y ≠ - 2 t 5

Beleza, a nossa região do plano em que f é contínua está em R 2 exceto pela reta:

y = - 2 t 5

Excelente!

Passo 3

Vamos agora analisar a continuidade de ∂ f ∂ y . Para isso precisamos primeiro calcular essa derivada parcial:

d t - y 2 t + 5 y d y

Temos então a razão de duas funções:

g y = t - y h y = 2 t + 5 y

Usando a regra do quociente:

d g h d y = g ' h - g ⋅ h ' h 2

Temos que:

g ' = - 1

E:

h ' = 5

Daí:

d t - y 2 t + 5 y d y = - 1 ⋅ 2 t + 5 y - 5 ⋅ t - y 2 t + 5 y 2

∂ f ∂ y = - 7 t 2 t + 5 y 2

Olha que legal, derivamos a expressão, mas o problema da descontinuidade permanece no denominador. Assim, a região do plano em que ∂ f ∂ y é contínua também está em:

R 2 - y = - 2 t 5

Portanto, essa é a região em que garantimos que as hipóteses do teorema da existência e unicidade serão obedecidas:

t , y ∈ R 2 y ≠ - 2 t 5

Prontinho!!

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

t , y ∈ R 2 y ≠ - 2 t 5

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