UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 2 - Equações lineares, Bernoulli e separáveis, Questão 2.2
Determine as regiões do plano nas quais as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs de primeira ordem são satisfeitas:
Passo 1
Faaala pessoal, tudo bom com vocês?
Então, nessa questão recebemos uma equação diferencial dada por:
Sobre essa equação, o enunciado nos pede para determinar as regiões do plano cartesiano nas quais as hipóteses do teorema de existência e unicidade são válidas. Vocês lembram desse teorema?
Basicamente, ele fala que se temos a equação diferencial dada por:
Se e são contínuas em uma região do plano , então existe uma região do plano em que há uma única solução do PVI.
Portanto, nós vamos analisar em qual intervalo temos e contínuas para a partir deles encontrar a região do plano da nossa única solução.
Vem comigo que vai ficar bem claro 😉
Passo 2
Bom, pra começar, comparando a equação diferencial que recebemos:
Temos que:
Vamos começar analisando a continuidade de .
A grande restrição dessa lei de formação é que temos uma raiz quadrada. Assim, precisamos que a expressão dentro da raiz seja maior ou igual a zero. Logo:
Ou seja, a região em que é contínua é toda a região no plano externa e no limite da circunferência centrada em e de raio igual a .
Passo 3
Beleza, agora vamos analisar a continuidade da derivada parcial com relação a . Temos:
Usando a regra da cadeia, temos:
Agora temos dois problemas que geram restrições.
O primeiro deles é que como temos uma raiz quadrada, o termo dentro da raiz não pode ser negativo. Assim, é a mesma condição que calculamos no item anterior:
Já o segundo problema, que é exclusivo da derivada parcial, é que o denominador de uma fração nunca pode ser nulo. Ou seja, não podemos ter o termo dentro da raiz sendo igual a zero.
Logo:
Logo, para a derivada parcial temos o seguinte conjunto solução:
Daí, fazendo a superposição dos dois conjuntos, temos que a região do plano em que garantimos a obediência ao teorema da existência e unicidade vale:
Excelente! Então é isso pessoal!
Obrigado pela atenção e até a próxima 😊