UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 2 - Equações lineares, Bernoulli e separáveis, Questão 2.3
Determine as regiões do plano nas quais as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs de primeira ordem são satisfeitas:
Passo 1
Fala aí gente, tudo na paz?
Então, nessa questão recebemos uma equação diferencial dada por:
Sobre essa equação, o enunciado nos pede para determinar as regiões do plano cartesiano nas quais as hipóteses do teorema de existência e unicidade são válidas. Vocês lembram desse teorema?
Basicamente, ele fala que se temos a equação diferencial dada por:
Se e são contínuas em uma região do plano , então existe uma região do plano em que há uma única solução do PVI.
Portanto, nós vamos analisar em qual intervalo temos e contínuas para a partir deles encontrar a região do plano da nossa única solução.
Vem comigo que vai ficar bem claro 😉
Passo 2
Bom, pra começar, podemos comparar a equação diferencial dada com o nosso teorema. Daí, vem que:
Assim, precisamos analisar a continuidade de .
Analisando a expressão da sua lei de formação, vemos que o grande problema está no denominador da fração, pois ele nunca pode ser nulo. Assim:
Ou seja, a região do plano em que é contínua é descrita como:
Massa!
Passo 3
Agora vamos analisar a derivada parcial de com relação a . Vamos começar calculando-a.
Pela regra da cadeia, teremos que:
Logo:
Olha que interessante. Apesar de termos derivado a nossa função , a restrição continua sendo no denominador que precisa ser diferente de zero. E, o denominador ainda é basicamente o mesmo de . Ou seja:
Logo, a região do plano em que é contínua também é dada por:
Como essas regiões são as mesmas para e para , concluímos que para o teorema da unicidade e existência ser obedecido devemos considerar a região do plano:
Prontinho pessoal! É isso aí!
Muito obrigado pela atenção de todos vocês e até a próxima 😊