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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

  1. Determine a solução geral da EDO

y ' = y + cos ⁡ e - t

E determine o comportamento da solução quando t → + ∞ em função da constante

Passo 1

  1. Pra resolver essa EDO de 1 º ordem aí, a primeira coisa a se fazer é se perguntar: por qual método fazer?

Então, como temos uma função composta com e - t ali, é muito recomendável fazer pelo fator integrante, pois como o fator integrante evolve a exponencial, isso pode simplificar muito as contas, percebeu?

Passo 2

O fator integrante é

I = e ∫ p t d t

Bele? Agora quem é essa P ( t ) ?

Pela teoria ela é: y ' + P t y = Q ( t ) , ou seja, no nosso caso ela será:

y ' - y = cos ⁡ e - t         ⇒           P t = - 1

Então calculando a integral do fator integrante sem colocar a constante, teremos

∫ P t d x = ∫ - 1 d t

∫ - 1 d t = - t

Logo

I = e ∫ P ( t ) d t = e - t

Passo 3

Pow! Toda vez que você se deparar com solução por fator integrante, a solução sempre será

y t = 1 I t ∫ I t Q t d t + c

Então bora calcular essa integral aí?

Passo 4

Substituindo o fator e o Q ( x ) que nesse caso é aquela função c o s s e n o

∫ I t Q t d t = ∫ e - t cos ⁡ e - t d t

Bem, temos e - t dentro do argumento e fora, então podemos fazer uma substituição simples

e - t = a

d a = - e - t d t           ⇒             e - t d t = - d a

Fazendo uma pequena manobrazinha dentro da integral antes de substituir tudo...

∫ e - t cos ⁡ e - t d t = ∫ cos ⁡ e - t e - t d t

Agora sim substituindo tudo

∫ cos ⁡ a ( - d a ) =

- ∫ cos ⁡ a d a

Integral direta!:) Ahhh! Não precisa de colocar a constante de integração, beleza? Pois pode confundir e além do mais, a formula já tem essa constante c

- ∫ cos ⁡ a d a = - sin ⁡ a

Voltando para a variável original

- sin ⁡ e - t

Passo 5

Voltando com esse resultado pra dentro da fórmula da solução

y t = 1 I t ∫ I t Q t d t + c

y t = 1 e - t c - sin ⁡ e - t

Pra simplificar, a gente pode passar esse e - t pra cima, mas mudando o sinal do expoente...

y t = e t c - sin ⁡ e - t

Prontinho!:)

Passo 6

Bem, antes de aplicar o limite, repare que a constante c sempre pode assumir três tipos de valores:

  1. c = 0
  2. c > 0
  3. c < 0

Basta avaliar em cada uma das situações o limite

lim t → + ∞ ⁡ e t c - sin ⁡ e - t

Passo 7

  1. Começando com o c = 0 :

    2. Se c = 0 , então o limite que devemos calcular é

    lim t → + ∞ ⁡ e t - sin ⁡ e - t

    E aqui vamos fazer o seguinte, vamos retornar com esse e t pra baixo

    lim t → + ∞ ⁡ 1 e - t - sin ⁡ e - t =

    - lim t → + ∞ ⁡ sin ⁡ e - t e - t

    Cara, isso lembra muito aquele limite fundamental do seno neh?

    Se a gente chamar e - t = x , observe que quando t estiver muito grande, x vai pra zero e como a exponencial nunca é negativa, x → 0 + , sacou?

    Então

    - lim t → + ∞ ⁡ sin ⁡ e - t e - t = - lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x x

    Como esse é o limite fundamental da trigonometria, ele vale 1 , se lembra?

    = - lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x x = - 1

    lim t → + ∞ ⁡ e t c - sin ⁡ e - t = - 1

    Passo 8

  2. Se c > 0 a gente terá que calcular

    3. lim t → + ∞ ⁡ e t c - sin ⁡ e - t =

    Multiplicando esse e t

    lim t → + ∞ ⁡ e t c - e t sin ⁡ e - t =

    Como o limite da soma é a soma dos limites, podemos:

    lim t → + ∞ ⁡ e t c + lim t → + ∞ ⁡ e t - sin ⁡ e - t =

    Bem, o segundo termo a gente já calculou e viu que vale - 1 e o primeiro

    lim t → + ∞ ⁡ e t c

    Como e t vai para o infinito positivo e c é um número positivo, o resultado será

    lim t → + ∞ ⁡ e t c = + ∞

    lim t → + ∞ ⁡ e t c - sin ⁡ e - t = + ∞

    Passo 9

  3. Quando c < 0

lim t → + ∞ ⁡ e t c - sin ⁡ e - t =

lim t → + ∞ ⁡ e t c - e t sin ⁡ e - t =

Novamente...

lim t → + ∞ ⁡ e t c + lim t → + ∞ ⁡ e t - sin ⁡ e - t =

Bem, a diferença aqui é que o c é negativo, então o produto de um número negativo, então

lim t → + ∞ ⁡ e t c = - ∞

lim t → + ∞ ⁡ e t c - sin ⁡ e - t = - ∞

Resposta

y t = e t c - sin ⁡ e - t

c = 0       ⇒               lim t → + ∞ ⁡ y t = - 1

c > 0       ⇒               lim t → + ∞ ⁡ y t = + ∞

c < 0       ⇒               lim t → + ∞ ⁡ y t = - ∞

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