Determine a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita

c) x d x + y e^(-x) d y = 0, y(0) = 1

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial aqui

x   d x + y e - x d y = 0

Para resolvê-la vamos separar as variáveis: de um lado tudo que depende de x e do outro tudo que depende de y

E agora?

Com isso vamos passar os diferenciais cada um pra um lado e integrar!

Beleza? Integrando vamos imediatamente colocar + C ! E aí teremos uma solução implícita! Para obter uma solução explicitamente

y = y ( x )

É só isolar y !

Como é um problema definido, precisamos aplicar a condição inicial no final e encontrar a constante C !

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

x   d x + y e - x d y = 0

Separando as variáveis

- y d y = x e x   d x

Beleza?

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora integrando dos dois lados

- y d y = x e x   d x

∫ - y   d y = ∫ x e x d x

Do lado direito vamos integrar por partes! Chamando u = x → d u = d x . Chamando d v = e x d x → v = e x . Lembrando dessa técnica de integração

∫ u d v = u v - ∫ v   d u

Ah! Não esquece do + C ! Bora integrar!

- y 2 2 = x e x - ∫ e x d x + C

E por fim resolver essa última integral

- y 2 2 = x e x - e x + C

Beleza?

Passo 4

Agora vamos aplicar a condição inicial na solução para achar C

y 0 = 1

- y 2 2 = x e x - e x + C

- 1 2 = 0 e 0 - e 0 + C

C = - 1 2 + 1 = 1 2

Aí nossa solução particular fica

- y 2 2 = x e x - e x + 1 2

y 2 = - 2 e x x + 1 - 1

Isolando y

y = - 2 e x x + 1 - 1

Pois y > 0

E é isso! Espero ter ajudado! Bora treinar mais?

Resposta

y = - 2 e x x + 1 - 1

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