Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

Ver Teoria
Exercício 181123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFPA – Cálculo I – Listas de Exercícios 01 – Questão 6f

Determine a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita

f ) y ' = x y 3 1 + x 2 - 1 / 2 ,   y 0 = 1  

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial aqui

y ' = x y 3 1 + x 2 - 1 2 ,  

Para resolvê-la vamos separar as variáveis: de um lado tudo que depende de x e do outro tudo que depende de y

E agora?

Com isso vamos trocar y ' = d y d x , passar os diferenciais cada um pra um lado e integrar!

Beleza? Integrando vamos imediatamente colocar + C ! E aí teremos uma solução implícita! Para obter uma solução explicitamente

y = y ( x )

É só isolar y !

Como é um problema definido, precisamos aplicar a condição inicial no final e encontrar a constante C !

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

y ' = x y 3 1 + x 2 - 1 2 ,  

Separando as variáveis

y - 3 y ' = x 1 + x 2 - 1 2

Vamos trocar y ' = d y d x

y - 3 d y d x = x 1 + x 2 - 1 2

E separar por fim

y - 3   d y = x 1 + x 2 - 1 2 d x

Beleza?

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora integrando dos dois lados

y - 3   d y = x 1 + x 2 - 1 2 d x

∫ y - 3   d y = ∫ x 1 + x 2 - 1 2 d x

Do lado direito vamos chamar u = 1 + x 2 e com isso d u = 2 x d x . Assim podemos usar substituição simples para integrar! E ah! Não esquece do + C

- y - 2 2 = 1 2 ∫ u - 1 2 d u + C = 1 2 u 1 2 1 2 + C

- 1 2 y 2 = 1 + x 2 + C

D i g i t e   a   e q u a ç ã o   a q u i .

Beleza?

Passo 4

Agora vamos aplicar a condição inicial na solução para achar C

y 0 = 1

- 1 2 y 2 = 1 + x 2 + C

- 1 2 = 1 + C

C = - 1 2 - 1 = - 3 2

Aí nossa solução particular fica

- 1 2 y 2 = 1 + x 2 - 3 2

Isolando y temos

1 y 2 = 3 - 2 1 + x 2

y = 1 3 - 2 1 + x 2

Pois y > 0

E é isso! Espero ter ajudado! Bora treinar mais?

Resposta

y = 1 3 - 2 1 + x 2

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial.y^' = (e^y)/(x y)
Resolva a equação diferencial:y^' = x e^(x - y) c o s s e c y
Resolva o problema de valor inicial.t (d u)/(d t) = t^2 + 3 u , t0 , u (2) = 4
Determine se a equação diferencial é linear.x y + sqrt(x) = e^x y '
Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0