Determine a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita

i) y' = (3 * x^2 - e^x) / (2y - 5), y(0) = 1

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial aqui

y ' = 3 x 2 - e x 2 y - 5

Para resolvê-la vamos separar as variáveis: de um lado tudo que depende de x e do outro tudo que depende de y

E depois?

Com isso vamos trocar y ' = d y d x , passar os diferenciais cada um pra um lado e integrar!

Beleza? Integrando vamos imediatamente colocar + C ! E aí teremos uma solução implícita! Para obter uma solução explicitamente

y = y ( x )

É só isolar y !

Como é um problema definido, precisamos aplicar a condição inicial no final e encontrar a constante C !

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

y ' = 3 x 2 - e x 2 y - 5

Separando as variáveis

( 2 y - 5 ) y ' = ( 3 x 2 - e x )

Vamos trocar y ' = d y d x

( 2 y - 5 ) d y d x = ( 3 x 2 - e x )

E separar por fim

( 2 y - 5 )   d y = ( 3 x 2 - e x ) d x

Beleza?

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora integrando dos dois lados

( 2 y - 5 )   d y = ( 3 x 2 - e x ) d x

∫ ( 2 y - 5 )     d y = ∫ ( 3 x 2 - e x ) d x

Agora é só integrar!

Ah! Não esquece do + C

y 2 - 5 y = x 3 - e x + C

Beleza?

Passo 4

Agora vamos aplicar a condição inicial na solução para achar C

y 0 = 1

Nossa solução

y 2 - 5 y = x 3 - e x + C

1 - 5 = 0 - e 0 + C

- 4 + 1 = C

C = - 3

Aí nossa solução particular fica

y 2 - 5 y = x 3 - e x - 3

E por fim para isolar y vamos completar quadrado do lado esquerdo

y 2 - 5 y + 25 4 - 25 4 = x 3 - e x - 3

y - 5 2 2 = x 3 - e x + 13 4

y = x 3 - e x + 13 4 + 5 2

Pegamos a raiz positiva pois y 0 = 1

E é isso! Espero ter ajudado! Bora treinar mais?

Resposta

y = x 3 - e x + 13 4 + 5 2

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