Encontre o fator integrante correto para a seguinte diferencial: cos(x) * y' - 2 * sen(x) * y = e^(-x)

  1. cos^2(x)
  2. e^(2 * cos(x))
  3. e^(-2 * sec^2(x))
  4. e^(-2tg(x))
  5. 2 * cos(x)

Passo 1

Para calcularmos o fator integrante devemos, antes de mais nada, colocar a EDO na forma mais comum que estudamos:Dividiremos tudo por cos ⁡ x

y ' - 2 t g x y = e - x cos ⁡ x

Passo 2

A fórmula do fator integrante é:

I x = e ∫ A x d x

No nosso caso A x = - 2 t g ( x )

Então devemos calcular a integral: ∫ - 2 t g x d x = - 2 ∫ s e n x cos ⁡ x d x

Passo 3

Para calcular essa integral utilizaremos uma mudança de variável

v x = cos ⁡ x ; d v = - s e n x d x

Agora aparece a pergunta, mas porque fizemos isso? Fizemos isso por temos o s e n x no numerador multiplicando, que é a derivada de v ‼ ‼

Logo vamos ficar com:

∫ - 2 t g x d x = - 2 ∫ s e n x cos ⁡ x d x = - 2 ∫ - 1 u d u = = 2 ln ⁡ u = 2 ln ⁡ cos ⁡ x

Atenção, omitimos a constante de integração no final, pois não nos interessa saber todas as funções que são fator integrante, uma só resolve nosso problema!

Passo 4

Logo vamos continuar as contas:

I x = e 2 ln ⁡ cos ⁡ x = c o s 2 ( x )  

Passo 5

Resposta

  1. cos 2 ⁡ x

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