Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

Ver Teoria
Exercício 166123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFPA – Cálculo I – Listas de Exercícios 01 – Questão 4b

Encontre a solução do problema de valor inicial dado

b ) y ' + 2 y = t e - 2 t ,   y 1 = 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial

y ' + 2 y = t e - 2 t

E essa condição inicial

y 1 = 0

Para resolvê-la vamos relembrar um tipo de equação diferencial bem interessante, desse tipo aqui

y ' + p x y = r ( x )

A ideia aqui é resolver essa equação usando a técnica do fator integrante

Precisamos achar nosso fator integrante

μ x = e ∫ p x d x

Beleza? Com nosso fator, podemos ir direto para nossa solução y ( x ) :

μ x . y x = ∫ μ x . r x d x + C

E com a solução na mão, podemos aplicar a condição inicial e determinar nossa constante C ! Tranquilo?

x → t !

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

y ' + 2 y = t e - 2 t

Fazendo uma comparação temos que

p t = 2

E

r t = 2 t e - 2 t

Vamos encontrar nosso fator integrante

μ t = e ∫ 2 d t = e 2 t

Tudo bem?

Agora nossa solução é

μ t . y t = ∫ μ t . r t d x + C

e 2 t y = ∫ e 2 t . 2 t e - 2 t + C

e 2 t . y = 2 ∫ t + C

Precisamos resolver a integral

e 2 t y = t 2 + C

Tudo bem?

aí nossa solução fica

e 2 t y = t 2 + C

Belezinha?

Passo 3

Agora precisamos aplicar a condição de contorno

y 1 = 0

e 2 . 0 = 1 2 + C

C = - 1

Aí vamos retomar nossa solução e isolar y

e 2 t y = t 2 + C

y = t 2 e 2 t - 1 e 2 t

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

y = t 2 e 2 t - 1 e 2 t

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial.y^' = (e^y)/(x y)
Resolva a equação diferencial:y^' = x e^(x - y) c o s s e c y
Resolva o problema de valor inicial.t (d u)/(d t) = t^2 + 3 u , t0 , u (2) = 4
Determine se a equação diferencial é linear.x y + sqrt(x) = e^x y '
Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0