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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

UFPA – Cálculo I – Listas de Exercícios 01 – Questão 4c

Encontre a solução do problema de valor inicial dado

c ) t y ' + 2 y = t 2 - t + 1 ,   y 1 = 1 2 ,   t > 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial

t y ' + 2 y = t 2 - t + 1

E essa condição inicial

y 1 = 1 2

Para resolvê-la vamos relembrar um tipo de equação diferencial bem interessante, desse tipo aqui

y ' + p x y = r ( x )

A ideia aqui é resolver essa equação usando a técnica do fator integrante

Precisamos achar nosso fator integrante

μ x = e ∫ p x d x

Beleza? Com nosso fator, podemos ir direto para nossa solução y ( x ) :

μ x . y x = ∫ μ x . r x d x + C

E com a solução na mão, podemos aplicar a condição inicial e determinar nossa constante C ! Tranquilo?

x → t !

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

t y ' + 2 y = t 2 - t + 1

y ' + 2 t y = t - 1 + 1 t

Fazendo uma comparação temos que

p t = 2 t

E

r t = t - 1 + 1 t

Vamos encontrar nosso fator integrante

μ t = e 2 ∫ d t t = e 2 ln ⁡ t

= e ln ⁡ t 2 = t 2

Tudo bem?

Agora nossa solução é

μ t . y t = ∫ μ t . r t d t + C

t 2 y = ∫ t 2 . t - 1 + 1 t d t + C

t 2 y = ∫ t 3 - t 2 + 1 t   d t + C

Precisamos resolver a integral

t 2 y = t 4 4 - t 3 3 + t 2 2 + C

Tudo bem?

aí nossa solução fica

y = t 2 4 - t 3 + 1 2 + C

Belezinha?

Passo 3

Agora precisamos aplicar a condição de contorno

y 1 = 1 2

y = t 2 4 - t 3 + 1 2 + C

1 2 = 1 4 - 1 3 + 1 2 + C

C = - 1 4 + 1 3 = - 3 + 4 12 = 1 12

Beleza?

Aí vamos retomar nossa solução

y = t 2 4 - t 3 + 1 2 + C

y = t 2 4 - t 3 + 1 2 + 1 12

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

y = t 2 4 - t 3 + 1 2 + 1 12

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