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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

UFPA – Cálculo I – Listas de Exercícios 01 – Questão 4e

Encontre a solução do problema de valor inicial dado

e ) y ' - 2 y = e 2 t ,   y 0 = 2

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial

y ' - 2 y = e 2 t

E essa condição inicial

y 0 = 2

Para resolvê-la vamos relembrar um tipo de equação diferencial bem interessante, desse tipo aqui

y ' + p x y = r ( x )

A ideia aqui é resolver essa equação usando a técnica do fator integrante

Precisamos achar nosso fator integrante

μ x = e ∫ p x d x

Beleza? Com nosso fator, podemos ir direto para nossa solução y ( x ) :

μ x . y x = ∫ μ x . r x d x + C

E com a solução na mão, podemos aplicar a condição inicial e determinar nossa constante C ! Tranquilo?

x → t !

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

y ' - 2 y = e 2 t

Fazendo uma comparação temos que

p t = - 2

E

r t = e 2 t

Vamos encontrar nosso fator integrante

μ t = e ∫ - 2 d t = e - 2 t

Tudo bem?

Agora nossa solução é

μ t . y t = ∫ μ t . r t d x + C

e - 2 t y = ∫ e - 2 t . e 2 t + C

e - 2 t . y = ∫ t + C

Precisamos resolver a integral

e - 2 t y = t 2 + C

Tudo bem?

aí nossa solução fica

e - 2 t y = t 2 + C

Belezinha?

Passo 3

Agora precisamos aplicar a condição de contorno

y 0 = 2

e 0 . 2 = 0 2 + C

C = 2

Aí vamos retomar nossa solução e isolar y

e - 2 t y = t 2 + C

y = e 2 t t 2 + 2 e 2 t

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

y = e 2 t t 2 + 2 e 2 t

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