Indique qual a resposta correta para a solução geral de uma EDL não homogênea a saber: dy/dx + y = sen(x)

( ) 2 * e^(-x) - 4 * cos(4x) + 2 * e^(x)

( X ) C₁ * e^(-x) + 1/2 * (sen x - cos x)

( ) C1 * e^(-x) - C2 * e^(4x) - 2 * e^(x)

( ) C1 * e^(-x) - C2 * e^(4x) + 2 * sen(x)

( ) C1 * e^x - C2 * e^(4x) + 2 * e^x

Passo 1

Fala aí!! Vamos começar a resolver a Equação diferencial que a questão pediu. Primeiro, vamos achar a solução da equação homogênea, que é o mesmo que igualar a equação a zero, lembra?

d y d x + y = 0

Vamos ver a equação caractéristica dela:

r + 1 = 0 → r = - 1

Bom, a solução da equação homogênea vai ser:

y h = C 1 e - x

Beleza, agora vamos calcular a solução particular. Como temos um sen ⁡ x   no resultado, então podemos testar como solução particular a seguinte expressão:

y p = A sen ⁡ x   + B cos ⁡ x

Aí a gente substitui na equação para descobrirmos os valores de A   e   B que são as constantes da solução. Vamos então substituir na equação:

A cos ⁡ x - B sen ⁡ x + A sen ⁡ x   + B cos ⁡ x = sen ⁡ x

Agora vamos igualar os termos com sen ⁡ x e com cos ⁡ x :

A cos ⁡ x + B cos ⁡ x = 0 → A + B = 0

A - B sen ⁡ x = sen ⁡ x → A - B = 1

Então, ficamos com:

A + B = 0

A - B = 1

Se a gente somar essas duas expressões, teremos:

2 A = 1 → A = 1 2

Agora podemos substituir na primeira para acharmos o valor de B .

1 2 + B = 0 → B = - 1 2

Agora que já sabemos os valores de A e B , podemos substituir na solução particular e encontrar a solução geral:

y p = 1 2 sen ⁡ x - 1 2 cos ⁡ x = 1 2 ( sen ⁡ x - cos ⁡ x )

Na solução geral, vai ficar:

y x = y h + y p

y x = C 1 e - x + 1 2 sen ⁡ x - cos ⁡ x

Resposta

y x = C 1 e - x + 1 2 sen ⁡ x - cos ⁡ x

Exercícios de Livros Relacionados