UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 2 - Equações lineares, Bernoulli e separáveis, Questão 1.2
Nos problemas abaixo indique o intervalo que contém a condição inicial no qual as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs lineares de ordem são verdadeiras:
Passo 1
E aí gente, tudo na paz?
Então, nessa questão recebemos um problema de valor inicial (PVI) dado por:
E, precisamos determinar o intervalo, que contenha a condição inicial , no qual as hipóteses do teorema de existência e unicidade é verdadeiro. Vocês lembram o que diz esse teorema?
Basicamente, ele fala que se temos a equação diferencial dada por:
Se e são contínuas em um intervalo, então existe um intervalo em que há uma única solução do PVI.
Portanto, nós vamos analisar em qual intervalo temos e contínuas, para a partir daí selecionarmos o intervalo que contém a solução inicial.
Vem comigo que vai ficar bem claro 😉
Passo 2
Bom, antes de mais nada, vamos deixar a nossa equação diferencial na mesma carinha da equação diferencial do teorema. Ou seja:
Logo:
Prontinho, essa é a nossa função .
Daí agora precisamos analisar onde ela é contínua , como também onde a sua derivada parcial é contínua.
Passo 3
Vamos começar analisando a continuidade de . Para isso vamos observar a sua lei de formação:
Nessa expressão, o único problema que pode surgir é na função . Pois, a função tangente possui descontinuidade em . Assim, o intervalo em que é contínua está sempre entre:
onde .
Vamos ver agora a sua derivada parcial com relação a :
Opaa, ainda temos o mesmo probleminha. Logo, o intervalo em que é contínua também é do tipo:
Show! Então precisamos combar esse intervalor com a condição inicial dada:
Ou seja, nosso intervalo precisa respeitar as restrições de e , bem como conter o ponto .
Logo:
Prontinho!! Até a próxima gente 😊