UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 2 - Equações lineares, Bernoulli e separáveis, Questão 1.3
Nos problemas abaixo indique o intervalo que contém a condição inicial no qual as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs lineares de ordem são verdadeiras:
Passo 1
Ooi pessoal, tudo bem com vocês?
Então, nessa questão recebemos um problema de valor inicial (PVI) dado por:
E, precisamos determinar o intervalo, que contenha a condição inicial , no qual as hipóteses do teorema de existência e unicidade é verdadeiro. Vocês lembram o que diz esse teorema?
Basicamente, ele fala que se temos a equação diferencial dada por:
Se e são contínuas em um intervalo, então existe um intervalo em que há uma única solução do PVI.
Portanto, nós vamos analisar em qual intervalo temos e contínuas, para a partir daí selecionarmos o intervalo que contém a solução inicial.
Vem comigo que vai ficar bem claro 😉
Passo 2
Bom, pra começar precisamos deixar a nossa equação diferencial na mesma carinha da equação diferencial do nosso teorema. Assim:
Perfeito! Determinamos a nossa função do teorema.
Agora precisamos apenas analisar o intervalo em que e são contínuas.
Passo 3
Vamos começar avaliando o intervalo em que é contínua:
Analisando essa função, a grande restrição que temos para a continuidade está no denominador. Pois, ele precisa ser diferente de zero. Assim:
Portanto, o nosso intervalo de continuidade de está em
Agora analisando a derivada parcial:
Ajeitando um pouquinho essa fração, ficamos com:
Daí, fazendo a derivada com relação a , o termo que não depende de é uma constate e sua derivada é nula. Já no termo que depende, vamos ter:
Olha que interessante... obtivemos outra função, porém a restrição continua sendo no denominador. Ou seja:
Logo, o intervalo de continuidade da derivada parcial é o mesmo de . Portanto .
Assim, vamos combar esse intervalo com um intervalo que contenha a condição inicial:
Ou seja, precisa conter o ponto . Assim:
E é isso aí galera! Obrigado pela atenção e até a próxima 😉