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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

Puc Rio - 2019.1; G1 de Cálculo 4

Questão 1 (Justifique todas as suas respostas):

Encontre a solução do problema de valor inicial:

y ' - y = 1 + 3 sin ⁡ t y 0 = y 0

e estude o seu comportamento t → ∞ .

Passo 1

Ora bolas... Essa EDO é desse tipo aqui:

y ' t + A t y t = B t

O que a caracteriza como uma EDO linear que podemos resolver usando os conceitos de fator integrante. No nosso caso...

y ' - y = 1 + 3 sin ⁡ t               →                       A t = - 1     e           B t = 1 + 3 sin ⁡ t

A solução de uma EDO desse tipo é assim:

y t = 1 I t ∫ I t ⋅ B t   d t + C

Onde I é o fator integrante e que se calcula assim:

I t = e ∫ A t d t

Então vamos nessa?

Passo 2

CÁLCULO DO FATOR INTEGRANTE:

I t = e ∫ A t d t     →

Substituindo-se...

I t = e ∫ - 1 d t     →

I t = e - t  

Lembre-se de que não há a necessidade de colocar a constante de integração aqui não, ok? Logo...

y t = 1 I t ∫ I t ⋅ B t   d t + C   →

y t = 1 e - t ∫ e - t ⋅ 1 + 3 sin ⁡ t   d t + C   →

y t = e t ∫ e - t + 3 e - t sin ⁡ t   d t + C  

Beleza! Agora vamos calcular essa integral aí!

Passo 3

CALCULAR A INTEGRAL...

∫ e - t + 3 e - t sin ⁡ t   d t   →

Separando essa integral...

∫ e - t   d t + 3 ∫ e - t sin ⁡ t   d t     →

A primeira integral se calcula fácil...

- e - t + 3 ∫ e - t sin ⁡ t   d t

Já essa segunda é mais chatinha . Vamos calcula-la separado então, ok?

Passo 4

∫ e - t sin ⁡ t   d t

Bem, podemos usar aqui integração por partes...

∫ u d v = v u - ∫ v d u

Onde...

u = sin ⁡ t                   e                 d v = e - t d t

d u = cos ⁡ t d t                   e                 v = - e - t

Logo, substituindo...

∫ u d v = v u - ∫ v d u   →

∫ e - t sin ⁡ t   d t = - e - t sin ⁡ t - ∫ - e - t cos ⁡ t d t   →

∫ e - t sin ⁡ t   d t = - e - t sin ⁡ t + ∫ e - t cos ⁡ t d t

Ora! Novamente chegamos em uma integral que temos que resolver por fator integrante, mas dessa vez com o cosseno:

∫ e - t ⋅ cos ⁡ t d t

Escolhendo novamente u e d v ...

u = cos ⁡ t                 e                   d v = e - t

Derivando e integrando...

d u = - sin ⁡ t d t                 e                   v = - e - t

E substituindo...

∫ e - t ⋅ cos ⁡ t d t = - e - t cos ⁡ t - ∫ - e - t - sin ⁡ t d t →

∫ e - t ⋅ cos ⁡ t d t = - e - t cos ⁡ t - ∫ e - t sin ⁡ t d t

Ora bolas! Parece até que entramos num loop, né? Mas cara, não precisa calcular novamente não! Afinal, essa integral de seno é exatamente o que a gente busca desde o inicio...

∫ e - t sin ⁡ t   d t = - e - t sin ⁡ t + ∫ e - t cos ⁡ t d t       →

∫ e - t sin ⁡ t   d t = - e - t sin ⁡ t + - e - t cos ⁡ t - ∫ e - t sin ⁡ t d t       →

Perceba que quando passarmos essa integral de seno do lado direito para o esquerdo, ela passa somando e como ela é exatamente a mesma integral que já está no lado esquerdo, vamos ter...

2 ∫ e - t sin ⁡ t   d t = - e - t sin ⁡ t - e - t cos ⁡ t       →

∫ e - t sin ⁡ t   d t = - e - t sin ⁡ t - e - t cos ⁡ t 2    

Sacou?

Passo 5

Beleza, como lá no passo 3 queríamos encontrar essa maninha aqui...

∫ e - t + 3 e - t sin ⁡ t   d t = - e - t + 3 ∫ e - t sin ⁡ t   d t   →

Basta substituir agora :

∫ e - t + 3 e - t sin ⁡ t   d t = - e - t + 3 - e - t sin ⁡ t - e - t cos ⁡ t 2   →

∫ e - t + 3 e - t sin ⁡ t   d t = e - t - 1 - 3 2 sin ⁡ t - 3 2 cos ⁡ t

A solução da EDO então lá de onde paramos (no passo 2) é...

y t = e t ∫ e - t + 3 e - t sin ⁡ t   d t + C   →

y t = e t e - t - 1 - 3 2 sin ⁡ t - 3 2 cos ⁡ t + C   →

y t = - 1 - 3 2 sin ⁡ t - 3 2 cos ⁡ t + C e t

Passo 6

Calma Jovem gafanhoto! É um problema de valor inicial, ou seja...

y 0 = y 0

Substituindo o t por 0 ...

y 0 = - 1 - 3 2 sin ⁡ 0 - 3 2 cos ⁡ 0 + C e 0   →

y 0 = - 1 - 3 2 + C   →

y 0 = - 5 2 + C   →

E Isolando-se C ...

C = y 0 + 5 2

Logo, a solução do nosso problema é...

y t = - 1 - 3 2 sin ⁡ t - 3 2 cos ⁡ t + y 0 + 5 2 e t

Passo 7

Beleza! Agora então temos que estudar a resposta no infinito. Em outras palavras...

lim t → ∞ ⁡ y t   →

lim t → ∞ ⁡ - 1 - 3 2 sin ⁡ t - 3 2 cos ⁡ t + y 0 + 5 2 e t   →

Aqui a gente já nota que depende, né? Depende do valor de y 0 ! :)

Se y 0 for maior que - 5 2 , o valor dos parênteses se torna positivo e como a exponencial vai para ∞ no infinito, ela leva a resposta y com ela (afinal o cosseno e o seno são funções que variam entre - 1 e 1 ):

lim t → ∞ ⁡ - 1 - 3 2 sin ⁡ t - 3 2 cos ⁡ t + y 0 + 5 2 e t = ∞

Se y 0 for menor que - 5 / 2 , então o valor dos parênteses será negativo e...

lim t → ∞ ⁡ - 1 - 3 2 sin ⁡ t - 3 2 cos ⁡ t + y 0 + 5 2 e t = - ∞

Agora, se y 0 for igual - 5 / 2 , o termo dos parênteses se cancela, ficando apenas...

lim t → ∞ ⁡ - 1 - 3 2 sin ⁡ t - 3 2 cos ⁡ t

Como cosseno e seno variam entre - 1 e 1 , o limite não tende a valor nenhum, já que ele fica oscilando entre um intervalinho, saca? Ou seja...

lim t → ∞ ⁡ - 1 - 3 2 sin ⁡ t - 3 2 cos ⁡ t = n ã o   e x i s t e

Então...

lim t → ∞ ⁡ y t = ∞ ,       y 0 > - 5 2 n ã o   e x i s t e ,         y 0 = - 5 2 - ∞ ,       y 0 < - 5 2

Resposta

y t = - 1 - 3 2 sin ⁡ t - 3 2 cos ⁡ t + y 0 + 5 2 e t

lim t → ∞ ⁡ y t = ∞ ,       y 0 > - 5 2 n ã o   e x i s t e ,         y 0 = - 5 2 - ∞ ,       y 0 < - 5 2

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