Resolva a equação diferencial dada

e) y' = (cos^2(x))(cos^2(2y))

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial aqui

y ' = cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ 2 y

Para resolvê-la vamos separar as variáveis: de um lado tudo que depende de x e do outro tudo que depende de y

E agora?

Com isso vamos trocar y ' = d y d x , passar os diferenciais cada um pra um lado e integrar!

Beleza? Integrando vamos imediatamente colocar + C ! E aí teremos uma solução implícita! Para obter uma solução explicitamente

y = y ( x )

É só isolar y !

Como é um problema indefinido, vamos deixar nossa solução em termos da constante mesmo!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

y ' = cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ 2 y

Separando as variáveis

y ' cos 2 ⁡ 2 y = cos 2 ⁡ x

Vamos trocar y ' = d y d x

sec 2 ⁡ 2 y d y d x = cos 2 ⁡ x

E separar por fim

sec 2 ⁡ 2 y   d y = cos 2 ⁡ x d x

Beleza?

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora integrando dos dois lados

sec 2 ⁡ 2 y   d y = cos 2 ⁡ x d x

∫ sec 2 ⁡ 2 y   d y = ∫ cos 2 ⁡ x d x

Do lado esquerdo vamos chamar u = 2 y assim d u = 2 d y e usar substituição simples. Já do lado direito vamos usar identidade trigonométrica

cos 2 ⁡ x = 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 x )

Ah! Não esquece do + C

1 2 ∫ sec 2 ⁡ u d u = 1 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 x d x  

1 2 tan ⁡ 2 y = 1 2 x + 1 2 sin ⁡ 2 x + C

Beleza? Temos nossa solução implícita! Agora isolando y temos

tan ⁡ 2 y = x + 1 2 sin ⁡ 2 x + 2 C

E tirando o inverso da tangente

2 y = arctan ⁡ x + 1 2 sin ⁡ 2 x + 2 C

y = 1 2 arctan ⁡ x + 1 2 sin ⁡ 2 x + 2 C

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

y = 1 2 arctan ⁡ x + 1 2 sin ⁡ 2 x + 2 C

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