Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

(a) x e 2 y d y d x + e 2 y = l n   x x

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que resolver a equação diferencial

x e 2 y d y d x + e 2 y = l n   x x

fazendo uma substituição adequada para simplificar essa resolução. Vamos lá!

Passo 2

Olhando para a equação diferencial

x e 2 y d y d x + e 2 y = l n   x x

temos a função e 2 y aparecendo em dois termos da equação, então vamos tentar a substituição:

u = e 2 y

Assim,

d u d x = 2 e 2 y d y d x .

Substituindo na equação:

x 2 d u d x + u = l n   x x

d u d x + 2 x u = 2 l n   x x 2

Chegamos em uma equação diferencial do tipo

d u d x + P ( x ) u = Q ( x )

Esse tipo de equação já possui uma solução padrão, então nossa substituição foi bem sucedida.

Passo 3

Temos que a solução para a equação

d u d x + P ( x ) u = Q ( x )

É dada por

u = e - ∫ P ( x ) d x ( ∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x + C )

Então vamos calcular as integrais,

∫ P ( x ) d x = ∫ 2 x d x = 2   l n   x = l n   x 2

Assim,

e - ∫ P ( x ) d x = e - l n   x 2 = x - 2

e

∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x = ∫ e l n   x 2 2 l n   x x 2 d x = ∫ x 2 2 l n   x x 2 d x = 2 ∫ l n   x   d x

A integral de ln já é tabelada:

2 ∫ l n   x   d x = 2 ( x l n x - x ) .

Voltando temos,

u = x - 2 ( 2 ( x l n x - x ) + C )

Passo 4

Então para voltar ao problema inicial lembramos que u = e 2 y , assim

e 2 y = x - 2 ( 2 ( x l n x - x ) + C ) .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

e 2 y = x - 2 [ 2 ( x l n x - x ) + C ] .

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