Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

(e) (dy/dx) - (4/x)y = 2 * x^5 * e^(y/x^4)

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que resolver a equação diferencial

d y d x − 4 x y   =   2 x 5 e y x 4

fazendo uma substituição adequada para simplificar essa resolução. Vamos lá!

Passo 2

Olhando para a equação diferencial

d y d x − 4 x y   =   2 x 5 e y x 4

temos a função y x 4 aparecendo na exponencial, então vamos tentar a substituição:

u = y x 4

Assim,

y = u   x 4

derivando

d y d x = 4 u   x 3   + x 4 d u d x

Substituindo na equação e fazendo algumas manipulações:

4 u   x 3   + x 4 d u d x − 4 x u   x 4   =   2 x 5 e u

  4 u   + x d u d x − 4   u   =   2 x 2 e u

x d u d x   =   2 x 2 e u

d u d x   =   2 x e u

Chegamos em uma equação diferencial do tipo

d u d x   =   2 x e u

Esse tipo de equação pode ser resolvida pelo método da separação de variáveis.

Passo 3

Temos que a solução para a equação

d u d x   =   2 x e u

Pode ser obtida pelo método da separação de variáveis:

e - u d u   =   2 x d x

Integrando de ambos os lados

∫ e - u d u = ∫ 2   x   d x

Assim, resolvendo as integrais simples

- e - u = x 2 + C

Passo 4

Então para voltar ao problema inicial lembramos que u = y x 4 , assim

- e - y x 4 = x 2 + C .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

- e - y x 4 = x 2 + C .

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