UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 2 - Equações lineares, Bernoulli e separáveis, Questão 4.2
Resolva as equações diferenciais a seguir:
Passo 1
Faaaaaaala pessoal, tudo bem?
Nessa questão recebemos a seguinte EDO:
E, precisamos resolvê-la.
É importante perceber que aqui não recebemos um PVI, mas apenas uma equação diferencial mesmo. E, precisamos usar alguma das técnicas que conhecemos pra resolvê-la e encontrar uma solução geral da equação.
Nesse caso, temos uma equação que pode ser separável, pois:
Massa! Como separamos cada variável em um dos lados da equação temos uma equação separável. Daí, basta integrar dos dois lados pra resolver.
Vem comigo que vamo fazer tudo com bastante calma 😊
Passo 2
Bom, como vimos temos uma equação separável:
Assim, precisamos apenas integrá-la dos dois lados. Ficamos com:
Vamos começar resolvendo a integral da esquerda:
Para resolvê-la podemos usar o truque da mudança de variável, já que o numerador é praticamente igual à derivada do denominador. Daí, fazendo:
Logo:
Substituindo, vem:
Voltando para , temos:
Show de bola!
Indo agora para a integral da direita, temos:
Fazendo:
Logo:
Voltando para , vem:
Excelente!
Passo 3
Agora que resolvemos as integrais, podemos voltar para a igualdade:
Logo:
Pelas propriedades do logaritmo, vem:
Daí:
Como nada mais é do que uma constante, temos:
onde , depende da condição inicial dada no problema.
Prontinho pessoal! Essa é a solução da nossa EDO!
Brigado pela atenção e até a próxima 😊