UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 2 - Equações lineares, Bernoulli e separáveis, Questão 4.3
Resolva as equações diferenciais a seguir:
com e
Passo 1
E aí gente bonita, tudo certo com vocês?
Nessa questão recebemos a seguinte EDO:
E, precisamos resolvê-la.
É importante perceber que aqui não recebemos um PVI, mas apenas uma equação diferencial mesmo. E, precisamos usar alguma das técnicas que conhecemos pra resolvê-la e encontrar uma solução geral da equação.
Nesse caso, temos uma equação que pode ser separável, pois:
Massa! Como separamos cada variável em um dos lados da equação temos uma equação separável. Daí, basta integrar dos dois lados pra resolver.
Vem comigo que vamo fazer tudo com bastante calma 😊
Passo 2
Bom, como vimos temos uma equação separável:
Assim, precisamos apenas integrá-la dos dois lados. Ficamos com:
Vamos começar resolvendo a integral da esquerda:
Para resolvê-la podemos usar o truque da mudança de variável, já que o numerador é praticamente igual à derivada do denominador. Daí, fazendo:
Logo:
como , podemos fazer esse passo sem peso na consciência 😊
Substituindo, vem:
Voltando para , temos:
Show de bola!
Indo agora para a integral da direita, temos:
Excelente!
(À rigor, teríamos que somar uma constante no resultado dessa integral também. Mas, como temos uma equação relacionando as integrais, basta termos a constante representando qualquer valor constante que apareça na resolução).
Passo 3
Agora que resolvemos as integrais, podemos voltar para a igualdade:
Logo:
Pelas propriedades do logaritmo, vem:
Daí:
Como nada mais é do que uma constante, temos:
onde , depende da condição inicial dada no problema.
Prontinho pessoal! Essa é a solução da nossa EDO!
Brigado pela atenção e até a próxima 😊