UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 2 - Equações lineares, Bernoulli e separáveis, Questão 4.4
Resolva as equações diferenciais a seguir:
Passo 1
E aí galera, tudo bom com vocês?
Nessa questão recebemos a seguinte EDO:
E, precisamos resolvê-la.
É importante perceber que aqui não recebemos um PVI, mas apenas uma equação diferencial mesmo. E, precisamos usar alguma das técnicas que conhecemos pra resolvê-la e encontrar uma solução geral da equação.
Nesse caso, temos uma equação que pode ser separável, pois:
Massa! Como separamos cada variável em um dos lados da equação temos uma equação separável. Daí, basta integrar dos dois lados pra resolver.
Vem comigo que vamo fazer tudo com bastante calma 😊
Passo 2
Bom, como vimos temos uma equação separável:
Assim, precisamos apenas integrá-la dos dois lados. Ficamos com:
Vamos começar resolvendo a integral da esquerda:
Como no denominador dessa fração temos uma raiz quadrada, o radicando precisa ser maior ou igual a zero. Assim:
Por causa dessa limitação, podemos fazer uma substituição de variáveil e dizer que:
Daí, substituindo na nossa equação, integral vamos ter:
Pela relação fundamental da trigonometria:
Logo:
Mas , assim:
Agora resolvendo a integral do lado direito, temos:
Massa!
Passo 3
Agora vamos igualar os resultados que encontramos:
Como tanto faz chamarmos uma constante de ou de , podemos reduzir a:
Logo:
onde depende da condição inicial dada.
E aí galera, conseguiram entender como resolvemos essa EDO?
Responde Aí!