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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

UFRJ, Cálculo 2, P1 2013.1, Questão Discursiva 1

Resolva o problema de valor inicial:

x y ' + 2 y = cos ⁡ x 2 ,     y π = 2

No intervalo x > 0 .

Passo 1

Vamos começar escrevendo a equação na forma padrão:

y ' + 2 y x = cos ⁡ x 2 x

Essa EDO é linear de primeira ordem e não homogênea. Podemos resolver ela de uma vez só usando o fator integrante, o que vai diminuir o nosso trabalho.

u x = e ∫ 2 x d x = e 2 l n ⁡ ( x ) = x 2

Passo 2

Agora, basta multiplicar pelo fator integrante que acabamos de encontrar, vai ficar assim:

y * u x ' = x 2 × cos ⁡ x 2 x = x c o s x 2

Nossa integral fica:

∫ x c o s x 2 d x

Vamos utilizar a substituição simples:

u = x 2

d u = 2 x d x

Logo:

d x = d u 2 x

A integral fica:

∫ x c o s x 2 d x = ∫ c o s u d u 2 = 1 2   ∫ cos ⁡ u d u = 1 2 s e n x 2 + C

Passo 3

Vamos finalizar a questão agora:

y * x 2 = 1 2 s e n x 2 + C

y = 1 2 x 2 s e n x 2 + C x - 2

Vamos para o valor inicial agora:

y π = 0 + C π 2 = 0 + C π C = 2 π

y = 1 2 x 2 s e n x 2 + 2 π x - 2

Resposta

y x = 1 2 x 2 s e n x 2 + 2 π x - 2

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