UFSC, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de EDO - Lista 2, Questão 1a.
1) Resolva os Problemas de Valor Inicial.
a)
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema, temos uma EDO linear de primeira ordem e nosso objetivo é obter a resposta de sendo que .
Como fazemos isso? 👀
Uma equação diferencial de primeira ordem linear é uma equação na qual a função desconhecida e sua primeira derivada aparecem de forma linear, ou seja, podem ser expressas como combinações lineares de e .
Uma EDO linear de primeira ordem geralmente é escrita na forma:
Onde e são funções conhecidas de . A solução para essa EDO pode ser encontrada usando o método de fator integrante, que envolve multiplicar a equação por uma função apropriada para tornar a equação solúvel.
O fator integrante é dado por:
Multiplicando a equação por , obtemos:
Que pode ser reescrito como:
Integrando ambos os lados, obtemos:
Onde é uma constante de integração. Dividindo ambos os lados por , obtemos a solução geral da EDO linear de primeira ordem:
Onde é o fator integrante e é a constante de integração.
Sacou? Bora aplicar no nosso problema! 😁
Passo 2
Começando pelo fator de integração, se e , então
Integrando pelo método de integração polinomial, temos
Substituindo em
Por fim, aplicamos a fórmula
Podemos reescrever como
Assim podemos simplificar
Integrando pelo método de substituição com , obtemos que
Tranquilo até aqui? 🤔
Passo 3
Substituindo o resultado em
Simplificando um pouco mais
Essa é a solução geral dessa EDO, mas como foi dito que então
Portanto, a solução especifica desse problema é dada por
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
