UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 2 - Equações lineares, Bernoulli e separáveis, Questão 3.1
Resolva os problemas de valor inicial abaixo, indique o intervalo de validade da solução encontrada e esboce seu gráfico:
Passo 1
Fala aí galera, tudo beleza?
Nessa questão recebemos o seguinte PVI:
E, precisamos resolvê-lo, identificando ainda o intervalo de validade da solução.
A grande dificuldade é que essa equação não é linear, e não conseguimos aplicar diretamente o raciocínio da resolução via fator integrante.
Maaaas, tem um tipo de EDO bem importante que são as “EDOs do tipo homogênea”. Calma pessoal, não estamos falando das EDO’s que o lado direito da equação na forma clássica é nulo.
As EDO’s do TIPO homogênea são equações em que vale:
O que no caso desse item é verdade, se liga só:
Então:
Excelente! Pra resolver esse tipo de EDO a ideia é fazer uma mudança de variáveis usando que:
A partir daí mudamos a nossa EDO e caímos em uma equação separável.
Vem comigo que vai ficar bem claro 😊
Passo 2
Temos:
Queremos fazer a mudança:
Logo:
Substituindo essas informações na equação, vem que:
Logo:
Assim:
Olha que legal! Caímos numa equação separável!
Vamos resolvê-la.
Passo 3
Para resolver uma equação separável basta integrarmos dos dois lados da igualdade. Assim:
A integral da esquerda parece meio complicadinha. Então, vamos usar o seguinte:
Mas, pela diferença de quadrados, temos:
Separando parcialmente essas frações, temos:
Que pode ser novamente separada como:
Substituindo na integral:
Substituindo na equação, vem:
Usando a condição inicial dada no PVI:
Então:
Logo:
Usando a propriedade dos logaritmos:
Portanto, substituindo na nossa equação, bem como por , temos:
Essa é a solução da nossa EDO.
Sobre o intervalo em que a solução é válida, pelo teorema da existência e unicidade, a solução apenas não será válida onde e não forem contínuas.
Devido ao termo que aparece no denominador de ambas funções, o intervalo compreende todos os reais, exceto por .
É isso galerinha! Muito obrigado pela atenção de vocês e até a próxima 😊