UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 2 - Equações lineares, Bernoulli e separáveis, Questão 5.1
Resolva os problemas de valor inicial abaixo, indique o intervalo de validade da solução encontrada e esboce seu gráfico:
Passo 1
Fala aí galera, tudo tranquilo?
Nessa questão recebemos o seguinte problema de valor inicial (PVI):
E, sobre ele precisamos determinar a solução, o intervalo de validade dessa solução, como também o seu gráfico.
Ou seja, na prática precisamos resolver essa equação diferencial.
Bom, começando pelo intervalo de validade, pelo teorema da existência e unicidade precisamos verificar o intervalo em que:
e são contínuas.
Pra determinar a solução da EDO devemos pensar nas técnicas que dispomos para resolvê-la. A começar pela EDO separável, se conseguirmos colocar de um lado da igualdade tudo que depende de e do outro tudo que depende de , temos uma equação separável.
Logo:
Excelente! Conseguimos!
Por fim, depois de encontrar a solução devemos esboçar o seu gráfico.
Vem com a gente que vai ficar tudo bem clarinho 😊
Passo 2
A come��ar pelo intervalo de validade da solução, temos:
A única restrição nessa equação é o denominador que não pode ser nulo. Assim:
Massa!
Já quanto à derivada parcial com relação a , temos:
Pela regra da cadeia:
Olha que legal... novamente a restrição que temos está no denominador.
Precisamos eu:
Portanto, o nosso intervalo de validade é:
Perfeito!
Passo 3
Pra resolver a EDO separável podemos integrar em ambos os lados. Assim:
Resolvendo a integral à direita, temos:
E:
Igualando as duas integrais, temos:
Pra determinar o valor da constante , precisamos usar a condição inicial:
Logo:
Portanto temos:
Essa equação define implicitamente em função de .
Excelente!
Passo 4
Por fim, precisamos esboçar o gráfico da nossa função . Para isso, já que definimos ela apenas implicitamente, podemos usar o auxílio de um recurso computacional (como geogebra, desmos e outros tantos).
Vamos ter o seguinte gráfico:
Prontinho pessoal! Com isso matamos a questão!
Muito obrigado pela atenção de vocês e até a próxima!
Resposta
Resposta no texto.