UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 2 - Equações lineares, Bernoulli e separáveis, Questão 5.2
Resolva os problemas de valor inicial abaixo, indique o intervalo de validade da solução encontrada e esboce seu gráfico:
Passo 1
Oiee galerinhaa, tudo na paz com vocês?
Nessa questão recebemos o seguinte problema de valor inicial (PVI):
E, sobre ele precisamos determinar a solução, o intervalo de validade dessa solução, como também o seu gráfico.
Ou seja, na prática precisamos resolver essa equação diferencial.
Bom, começando pelo intervalo de validade, pelo teorema da existência e unicidade precisamos verificar o intervalo em que:
e são contínuas.
Pra determinar a solução da EDO devemos pensar nas técnicas que dispomos para resolvê-la. A começar pela EDO separável, se conseguirmos colocar de um lado da igualdade tudo que depende de e do outro tudo que depende de , temos uma equação separável.
Logo:
Excelente! Conseguimos!
Por fim, depois de encontrar a solução devemos esboçar o seu gráfico.
Vem com a gente que vai ficar tudo bem clarinho 😊
Passo 2
Bom, começando pelo intervalo de validade, pelo teorema da existência e unicidade precisamos analisar a continuidade da função:
Essa função não possui nenhuma restrição. Por isso, a princípio dizemos que é válida em todos os reais.
Passo 3
Agora vamos calcular a solução em si. Temos que:
Integrando em ambos os lados:
onde é uma constante nos reais.
Para resolver a integral do lado esquerdo, podemos usar que:
Logo:
Daí, igualando ambos os resultados das integrais, vem que:
Substituindo a condição inicial podemos determinar quanto vale a constante :
Voltando à nossa equação, vamos tentar isolar :
Logo, invertendo os termos:
Logo:
Substituindo o valor de ficamos com:
E é isso gente, essa é a solução do nosso PVI.
Muito bom 😊
Passo 4
Por fim, podemos desenhar o gráfico dessa função. Para fazer isso, podemos usar recurso computacional (como Geogebra, desmos e outros). Daí, temos:
Prontinho! Com isso finalizamos a questão!
Espero que vocês tenham entendido a solução! Até a próxima galera 😊
Resposta
Resposta no texto.