Resolva os problemas de valor inicial abaixo, indique o intervalo de validade da solução encontrada e esboce seu gráfico:

2 .   d r d θ = r 2 θ r 1 = 2

Passo 1

E aí gente, tudo beleza?

Nessa questão recebemos o seguinte problema de valor inicial (PVI):

d r d θ = r 2 θ r 1 = 2

E, sobre ele precisamos determinar a solução, o intervalo de validade dessa solução, como também o seu gráfico.

Ou seja, na prática precisamos resolver essa equação diferencial.

Bom, começando pelo intervalo de validade, pelo teorema da existência e unicidade precisamos verificar o intervalo em que:

f ( θ , r ) = r 2 θ

e ∂ f ∂ r são contínuas.

Pra determinar a solução da EDO devemos pensar nas técnicas que dispomos para resolvê-la. A começar pela EDO separável, se conseguirmos colocar de um lado da igualdade tudo que depende de r e do outro tudo que depende de θ , temos uma equação separável.

d r d θ = r 2 θ

∴ 1 r 2 d r = 1 θ d θ

Excelente! Conseguimos!

Por fim, depois de encontrar a solução devemos esboçar o seu gráfico.

Vem com a gente que vai ficar tudo bem clarinho 😊

Passo 2

Pra começar vamos analisar o intervalo de validade. Temos a função:

f θ , r = r 2 θ

E:

∂ f ∂ θ = 2 r θ

A única restrição em ambas as funções ocorre no denominador que não pode ser nulo. Ou seja:

θ ≠ 0

Assim, o intervalo da solução, pelo teorema da existência e unicidade, e considerando também que a condição inicial foi dada em θ = 1 (e o intervalo de validade deve incluir a condição inicial):

I = ( 0 , ∞ )

Perfeito!

Passo 3

Agora vamos resolver a EDO em si. Vimos que:

1 r 2 d r = 1 θ d θ

Integrando em ambos os lados:

∫ r - 2 d r = ∫ θ - 1 d θ

Temos:

∫ r - 2 d r = - 1 r + C

E:

∫ θ - 1 d θ = ln ⁡ | θ | + D

onde C e D são as constantes de integração. Igualando as duas integrais, podemos suprimir uma das constantes. Assim:

- 1 r + C = l n ⁡ | θ |

Daí, usando a condição inicial:

r 1 = 2

Vem que:

- 1 2 + C = ln ⁡ 1 = 0

Logo:

C = 1 2

Daí, vamos ter:

1 2 - ln ⁡ θ = 1 r

∴ r = 2 1 - 2 ln ⁡ θ

Perfeito! Conseguimos determinar r .

Passo 4

Por fim, vamos desenhar o seu gráfico. Com auxílio dos recursos computacionais (como Geogebra, desmos e etc), devido à complexidade da função, temos o seguinte esboço:

Agora sim galerinha, matamos a questão!!

Conseguiram entender bem? Responde Aí!

Resposta

Resposta no texto.

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