UFSC, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de EDO - Lista 2, Questão 1c.
1) Resolva os Problemas de Valor Inicial.
c)
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema, temos uma EDO linear de primeira ordem e nosso objetivo é obter a resposta de sendo que .
Como fazemos isso? 👀
Uma equação diferencial de primeira ordem linear é uma equação na qual a função desconhecida e sua primeira derivada aparecem de forma linear, ou seja, podem ser expressas como combinações lineares de e .
Uma EDO linear de primeira ordem geralmente é escrita na forma:
Onde e são funções conhecidas de . A solução para essa EDO pode ser encontrada usando o método de fator integrante, que envolve multiplicar a equação por uma função apropriada para tornar a equação solúvel.
O fator integrante é dado por:
Multiplicando a equação por , obtemos:
Que pode ser reescrito como:
Integrando ambos os lados, obtemos:
Onde é uma constante de integração. Dividindo ambos os lados por , obtemos a solução geral da EDO linear de primeira ordem:
Onde é o fator integrante e é a constante de integração.
Sacou? Bora aplicar no nosso problema! 😁
Passo 2
Como e
Começando pelo fator integrante...
Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral de é dado por
Logo
Substituindo em
Podemos reescrever como
Ou seja...
Pelo método de substituição em que
Tranquilo até aqui? 😊
Passo 3
Substituindo o resultado da integral em vamos obter a solução geral da EDO.
Como , então
Substituindo em , a solução especifica será dada por
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
