Resolva a seguinte equação diferencial ou problema de valor inicial conforme seja o caso:
Passo 1
Foi nos dada a condição , então temos aqui um problema de valor inicial. OK, mas vamos começar com a EDO associada:
Vamos deixar a derivada sozinha na dela dividindo tudo por :
E então jogamos a função solta de para o outro lado da equação:
E olha só. Temos aqui funções apenas de multiplicando e também uma função apenas de solta. Portanto, vamos ter uma EDO linear na forma:
Sendo:
A EDO linear tem sempre solução na geral:
Em que é nosso fator integrante dado por:
Passo 2
Legal, então vamos calcular o fator integrante:
Deixamos assim sem nenhuma constante, porque ela já está aparecendo na fórmula da solução final.
Passo 3
Calculado o fator integrante, vamos encontrar a integral
Substituindo o que temos:
Para resolver essa integral, podemos fazer a substituição:
Ficando
Passo 4
Legal, agora já dá para substituir o que achamos para encontrar a solução geral:
Passo 5
Essa é a solução geral da EDO, como temos um problema de valor inicial, precisamos achar essa constante. Nos foi dado que:
Assim, teremos
OK. Então a solução do PVI vai ser
Feshow.