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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de EDO - Lista 2, Questão 6b.

6) Resolver os Problemas de Valor Inicial.

b) e x cos ⁡ y + 2 x - y d x = e x s e n y + 2 x - y d y , y 0 = π .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão temos que uma EDO exata dada por e x cos ⁡ y + 2 x - y d x = e x s e n y + 2 x - y d y e nosso objetivo é obter sua solução dado que y 0 = π

Como vamos fazer isso? 🤔

Uma EDO exata é dada pela equação

M x , y d x + N x , y d y = 0

Em que

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

A solução de uma EDO exata é obtida integrando M x , y com relação a x e somando com uma função g y

S x , y = ∫ M x , y d x + g y = C

Depois derivamos S x , y com relação a y e obtemos g ' y igualando a N x , y

E por fim, integramos g ' y com relação a y para obter g y

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Se e x cos ⁡ y + 2 x - y d x = e x s e n y + 2 x - y d y , então M x , y = e x cos ⁡ y + 2 x - y e N x , y = - e x s e n y + 2 x - y .

Verificando se a equação é exata, temos

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

∂ e x cos ⁡ y + 2 x - y ∂ y = ∂ - e x s e n y - 2 x - y ∂ x

Pelo teorema fundamental do cálculo e pelo método de derivação polinomial, temos

- e x s e n y - 2 = - e x s e n y - 2

Perfeito! A equação é exata! 😁

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos em busca da solução

S x , y = ∫ M x , y d x + g y = C

S x , y = ∫ e x cos ⁡ y + 2 x - y d x + g y = C

A integral de e x cos ⁡ y + 2 x - y em relação a x é obtida pelo método de integração polinomial e pelo teorema fundamental, ou seja

∫ e x cos ⁡ y + 2 x - y d x = e x cos ⁡ y + x 2 - x y

Logo, substituindo em S x , y

S x , y = e x cos ⁡ y + x 2 - 2 x y + g y = C

Agora derivamos S com relação a y e igualamos a N para obter g ' y

∂ S x , y ∂ y = ∂ e x cos ⁡ y + x 2 - 2 x y + g y ∂ y = - e x s e n y - 2 x - y

- e x s e n y - 2 x + g ' y = - e x s e n y - 2 x - y

Isolando g ' y

g ' y = - 2 x - y + 2 x

g ' y = 2 y

integrando g ' y para obter g y , temos

g y = ∫ 2 y d y = y 2

E finalmente, a solução da EDO será

e x cos ⁡ y + x 2 - 2 x y + y 2 = C

Mas como y 0 = π , vamos obter C como

e 0 cos ⁡ π + 0 2 - 2 0 π + π 2 = C

C = π 2 - 1

Ent��o a solução final desse problema é

e x cos ⁡ y + x 2 - 2 x y + y 2 = π 2 - 1

e x cos ⁡ y + x - y 2 = π 2 - 1

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

e x cos ⁡ y + x - y 2 = π 2 - 1

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