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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

A solução geral da equação diferencial

x y ' + y = x ,     ( x > 0 )

É (onde C ∈ R )

  1. y = 2 x 3 2 3 + C e - x
  2. y = 2 x 3 2 e - x 3 + C
  3. y = 2 x 3 + C x
  4. y = 2 x 3 + C
  5. y = 2 x 3 2 e - x 3 + C e - x

Passo 1

Repara que temos um equação linear de 1 º ordem, devemos usar o fator integrante para resolver essa EDO

Primeiro precisamos deixar o y ' isolado

y ' + 1 x y = x x

y ' + 1 x y = x - 1 2

Mas calma, vou te adiantar uma parada. Se fizermos o fator integrante, vamos achar

I x = x

E ao multiplicar a nossa EDO por esse número, vamos voltar para da EDO original.

x y ' + y = x

Ali do lado esquerdo já temos uma regra do produto

x y ' + y = x y '

Assim, vamos ter

x y ' = x

x y = ∫ x d x

x y = ∫ x 1 2 d x

x y = x 3 2 3 2 + C

x y = 2 3 x 3 2 + C

y = 2 3 x 3 2 x + C x - 1

y = 2 3 x 1 2 + C x - 1

y = 2 3 x + C x - 1

Resposta

Letra C

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