UTFPR– Equações Diferenciais – AVA1 – Lista 4 – Questão 5
Suponha que é contínua em algum intervalo I e é um número em I. O que pode ser dito a respeito da solução do PVI ?
Passo 1
Olá galera, tudo bem por aí? Essa questão parece ser complicada, mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Bora lá? O problema deu essa equação diferencial aqui
E perguntou o que pode ser dito sobre sua solução
Mas como assim, podemos dizer alguma coisa sobre a solução do problema sem saber efetivamente a cara desse problema? Sim! Podemos!
Temos um teorema para verificar se a solução é única!
Se tivermos uma equação diferencial do tipo
Se tanto quanto forem contínuas em um intervalo próximo do ponto inicial , garantimos que existe solução que satisfaça a equação e ela é única!
Lembrando que esse ponto deve estar dentro do intervalo de definição da solução
Agora que você já relembrou todos esses conceitos, partiu resolver o problema?
Relaxa, vou fazer passo a passo com você! Bora lá?
Passo 2
Nosso problema de valor inicial é o seguinte
Temos que é uma função contínua no intervalo que contém , então já garantimos que está no nosso intervalo de interesse!
Vamos isolar
Nossa função é
Temos um produto de duas funções: é contínua porque o enunciado garante isso, e também é porque é um polinômio. Sendo assim, como o produto de duas funções contínuas é outra função contínua, temos que é contínua!
Primeiro critério satisfeito com sucesso!
Agora o segundo
A derivada parcial de em relação a também é contínua! Então o segundo critério também foi satisfeito, portanto a solução do PVI em torno de existe e é única!
E é isso! Terminamos! Vamos treinar mais?