Suponha que e^x é uma solução da equação y' + p(x) y = 0 . Determine a solução geral da equação.

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa equação aqui

y ' + p x y = 0

E disse que e x é solução. Pediu para determinarmos a solução geral dessa equação

Mas como resolver isso?

Precisamos relembrar que quando uma função é solução de uma equação diferencial, se colocarmos essa função (e sua derivada) na equação teremos uma verdade matemática!

Beleza? Tá, e o que fazer com isso?

Como temos a solução e a equação está faltando aquele p ( x ) , vamos poder determinar quem é ele e achar o que falta para termos uma solução geral!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa equação

y ' + p x y = 0

A solução

y = e x

E

y ' = e x

Agora é só substituir

e x + p x e x = 0

Para que isso seja verdade, precisamos que p x = - 1

Beleza?

Assim nossa equação é

y ' - y = 0

ficou bem mais tranquilo né?

Passo 3

Agora é só resolver usando separação de variáveis e achar a solução geral

y ' = d y d x

d y d x = y

d y y = d x

Integrando

ln ⁡ y = x + c

E isolando y temos

y = e x + c = e x . e c

E e c ≡ C aí nossa solução geral fica

y = C e x

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

y = C e x

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