UFJF, Sem Campus, Equações Diferenciais I, AV1 - Profº Andrey - 2018.1, Questão 4
A velocidade de um ponto material que se move ao longo de uma linha reta é diretamente proporcional ao tempo do movimento e inversamente proporcional à distância até a origem. Encontre a trajetória de um ponto se, no instante inicial do tempo, a distância até a origem for , ou seja .
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para encontrar a trajetória de um ponto se, no instante inicial do tempo, a distância até a origem for , ou seja .
Para isso, a questão nos diz que a velocidade de um ponto material que se move ao longo de uma linha reta é diretamente proporcional ao tempo do movimento e inversamente proporcional à distância até a origem.
Matematicamente, podemos entender isso da seguinte forma:
Onde é a velocidade no instante , é uma constante de proporcionalidade e é a distância do ponto até a origem no instante .
A partir dessa equação diferencial, podemos encontrar a trajetória que queremos.
E aí? Bora lá??!!
😉
Passo 2
Para encontrar a trajetória, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo. Vamos fazer isso:
Simplificando a integral, temos:
Agora, podemos resolver essa integral.
Observe que a expressão à esquerda é uma integral do tipo logarítmica.
Aplicando a propriedade do logaritmo natural, podemos escrever:
Onde é uma constante de integração.
Aplicando a exponencial em ambos os lados da equação, obtemos:
Agora, podemos usar a condição inicial fornecida para determinar o valor de .
Passo 3
No instante inicial do tempo, quando , a distância até a origem é igual a , ou seja, .
Substituindo esses valores na equação, temos:
Portanto, , pois o logaritmo natural de é igual a .
Assim, a trajetória do ponto material é dada por:
Essa é a equação que descreve a trajetória do ponto em função do tempo, de acordo com as condições dadas.
A constante determina a forma específica da trajetória e pode ser ajustada para diferentes casos.
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
