UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 2 - Equações lineares, Bernoulli e separáveis, Questão 1.1
Nos problemas abaixo indique o intervalo que contém a condição inicial no qual as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs lineares de ordem são verdadeiras:
Passo 1
Fala aí gente, tudo na paz com vocês?
Então, nessa questão recebemos um problema de valor inicial (PVI) dado por:
E, precisamos determinar o intervalo, que contenha a condição inicial , no qual as hipóteses do teorema de existência e unicidade é verdadeiro. Vocês lembram o que diz esse teorema?
Basicamente, ele fala que se temos a equação diferencial dada por:
Se e são contínuas em um intervalo, então existe um intervalo em que há uma única solução do PVI.
Portanto, nós vamos analisar em qual intervalo temos e contínuas, para a partir daí selecionarmos o intervalo que contém a solução inicial.
Vem comigo que vai ficar bem claro 😉
Passo 2
Primeiro de tudo precisamos colocar a equação na mesma carinha do teorema. Temos:
Logo:
Assim, a nossa função é dada por:
Excelente! Aí agora que já encontramos a cara da nossa função , vamos avaliar onde ela e a sua derivada parcial são contínuas.
Passo 3
Para ser contínua não podemos ter nenhum ponto de descontinuidade na expressão:
Observando a expressão dessa função, vemos que o grande problema dela estar no denominador. Como o denominador não pode ser nulo, precisamos ter:
Portanto, o nosso intervalo que contém contínua é dado por: .
Vamos analisar a derivada parcial de com relação a !
Temos:
Olha que legal, tivemos uma função bem parecida. Assim, novamente temos que o único ponto de restrição ocorre quando:
Portanto, o intervalo em que é contínua também vale: .
Massa! Então, o intervalo que encontramos para e contínuas é o mesmo:
Agora podemos determinar o intervalo . Como ele deve estar dentro de um intervalo em que e sua derivada parcial são contínuas, mas também precisa incluir a condição inicial:
Teremos que:
Prontinho! Curtiram a solução? Responde Aí!