Exercícios Resolvidos de Inversão da Ordem de Integração – Coordenadas Cartesianas
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Integrais duplas sobre regiões gerais
Calcule a integral
Passo 1
Deveríamos começar a questão pela integral de dentro , mas ela parece ser muito complicada. Muitas vezes, quando você não tem a menor ideia de como calcular uma integral dupla, é uma boa tentar mudar a ordem de integração. É o que faremos aqui.
Primeiro, vamos esboçar a região em questão. Perceba que a exponencial corta o eixo em (pois ) e que para . O domínio da integral é essa área entre a curva azul e a vermelha.
Passo 2
Agora vamos reescrever essa região como tipo II. Pelo próprio gráfico, vemos que varia entre e (a reta azul), portanto .
Já o valor de varia entre e a reta vermelha, vamos escrevê-la, então, em função de :
Nosso domínio será, então:
Passo 3
Podemos, então, reescrever a integral da seguinte forma:
Perceba que a integral ficou muito mais simples agora.
Passo 4
Vamos, agora, integrar em relação a :
Passo 5
Integraremos, então, em relação a :