Exercícios Resolvidos de Inversão da Ordem de Integração – Coordenadas Cartesianas
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UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 1ª Lista, Questão 12
Nos exercícios 09 a 12, escreva as integrais dadas com a ordem de integração invertida
12.
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema queremos inverter os limites de integração da integral
Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔
Na prática para passar a integral de para temos que olhar para os limites de integração de e de e tentar reescreve-las de modo que invertemos a função ou sendo os limites da última integral sempre definidos entre duas constantes.
Bora ver como é na prática? 😉
Passo 2
Nesse caso, perceba que varia entre duas constantes e . Já está definida entre duas funções e .
Esboçando essas curvas no plano , vamos obter a região de integração.
Agora temos que definir essa região de integração em entre duas funções e em entre duas constantes.
Porém perceba que a região não é limitada superiormente pela mesma curva durante todo o espaço, por isso vamos ter que dividir a região em duas partes, uma que é limitada superiormente pela curva que está representada em roxo e o outro espaço representado em laranja limitado pela curva .
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Vamos começar pela região roxa... verticalmente a região é limitada superiormente pela curva e inferiormente pela curva .
Isolando na equação , temos
Assim, descobrimos que a região roxa está limitada em no intervalo
Já horizontalmente vemos que essa região é limitada entre e , ou seja,
Portanto, a integral pode ser escrita como
Agora olhando para a segunda região (laranja), vemos que superiormente ela é limitada pela reta e inferiormente pela reta . Assim, isolando na equação podemos obter o intervalo em que varia nessa região.
Já horizontalmente, varia no intervalo , portanto a integral da região laranja é dada por
Portanto, como a região original é a soma das duas regiões, temos
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
