Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Inversão da Ordem de Integração – Coordenadas Cartesianas

Ver Teoria
Exercício 55123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091929394

Enunciado

Integrais duplas sobre regiões gerais

Calcule a seguinte integral:

∫ 0 1 ∫ a r c t g ( y ) π 4 sec ⁡ x d x d y

Passo 1

Vamos esboçar essa região de integração. Temos y variando de 0 até 1 e x desde x = a r c t g y → y = t g ( x ) até π / 4 :

Nossa região de integração é, portanto:

Passo 2

Analisando a questão, percebemos que temos um problema: ∫ sec ⁡ ( x ) d x . Não sabemos calcular essa integral, por isso, usaremos um artifício para fugir dela, inverter a ordem de integração. Precisamos, então, reescrever a região acima como tipo I.

Pelo gráfico, vemos que x varia entre 0 e o x = a r c t g 1 = π / 4 e que y varia entre 0 e a curva verde ( y = t g ( x ) ). Pronto, basta levar esses valores para a integral de forma invertida, teremos:

∫ 0 π / 4   ∫ 0 t g ( x ) sec ⁡ ( x ) d y d x

Você verá que essa troca facilitará muito nossa vida!

Passo 3

Vamos integrar, então, em relação a y :

= ∫ 0 π / 4   y sec ⁡ x 0 t g   x d x =

= ∫ 0 π / 4   t g   x   sec ⁡ x d x =

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a x :

= sec ⁡ x 0 π / 4 =

= 2 - 1

Resposta

2 - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração.49. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Inverta a ordem de integração.