Exercícios Resolvidos de Inversão da Ordem de Integração – Coordenadas Cartesianas
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UFPE, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - Profº Ricardo F. da Silva - Undécima Lista, Questão 3d
Esboce a região de integração e calcule a integral trocando a ordem de integração.
d)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente trocar a ordem de integração, esboçar a região e calcular a integral. Essa região de integração é definida pelos intervalos da integral dupla que ele nos deu. Nesse caso, temos a região:
Esboçando a região, temos:
Em vermelho, temos a curva , que também pode ser escrita como . A reta em verde representa e, em cinza e azul, temos as retas e , respectivamente. Se a gente inverter essa ordem de integração, vamos olhar primeiro para , que vai ta variando de a . E depois olhamos para , que vai tá variando de a , ou seja:
Dessa forma, vamos resolver a integral:
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar integrando em relação a :
Aplicando os intervalos de integração em :
Mas , então substituindo temos:
Passo 3
Pra tornar essa integral mais simples, vamos fazer uma substituição. Pra isso, vamos chamar . Dessa forma, derivando, temos
.
Além disso, quando , vamos ter e, quando , vamos ter . Então, alteramos também nossos limites de integração, e nossa integral fica assim:
Pra não ficar com um limite superior menor que o limite inferior, nós invertemos o sinal da integral e trocamos os limites:
Passo 4
Agora vamos precisar fazer uma substituição trigonométrica para nos livrarmos dessa raiz. Pra isso, vamos chamar . Derivando, temos:
Além disso, quando , temos . E quando , temos . Assim, nossa integral fica:
Mas , então fica:
Galerinha, agora pra resolver isso aí a gente poderia usar a integração por partes (o velho ). Assim, a gente chamaria e e obteria e :
Integrando isso aí, vamos obter:
E aplicando os limites de integração, temos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉