2) Faça um esboço da região de integração e mude a ordem de integração na seguinte integral:

Já vamos começar metendo o pé na porta?

Na integral de dentro, vamos esboçar essa função feia aí, que é o que limita a parte de baixo de .

Lembra que essa tangente aí com -1 é a mesma coisa que arcotangente? É a função inversa de tangente. Se a gente representar assim:

Isso é a mesma coisa que:

Pooo... aí um pouquinho mais fazível porque a gente sabe, mais ou menos, como é o gráfico da função tangente.

Mas se não lembrar como é o gráfico, vai chutando uns valores daqueles conhecidos (0, 30, 45, 60 e 90 graus, que, em radianos fica e )

Repara que vamos começar em zero e parar láááá no infinito (rs) quando .

Esboçando só essa curva:

Maaas essa o é limitado, na parte de cima, por . (e temos até na tabela, né?? então essa reta vai cruzar bem bonitinho a curva em )

Como já estamos falando de reta. Vamos pros limites de também, que são as retas e .

Esboçando tudo e marcando a região delimitada:

Pra mudar a ordem de integração... Repara que antes estávamos olhando de baixo pra cima, na integral de dentro, certo? Era o variando de até .

Agora vamos olhar da esquerda pra direita, na integral de dentro. Então vamos ter o variando de até a curva, que é .

Já para o ele varia de até .

Repara que só levamos em conta a curva feiosa uma vez, ok!?

Então a integral dupla, mudando a ordem de integração, fica:

Acabamos mais uma... Partiu pra próxima?