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Exercícios Resolvidos de Inversão da Ordem de Integração – Coordenadas Cartesianas

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Enunciado

UFPE – Cálculo 2 – Listas Prof. Ricardo F. da Silva – Décima lista – Questão 3b

Quando convertida em uma integral iterada, as integrais duplas a seguir são mais fáceis de calcular em uma ordem do que outra. Escolha a melhor ordem de integração e calcule a integral

b ) ∬ R y   1 + x y d A ,   R = x , y ∈ R 2 ; 0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1

Passo 1

Oi, tudo bem?

Temos essa integral dupla para resolver

∬ R y   1 + x y d A

A região é retangular, então quanto a isso não precisamos nos preocupar com isso

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

O que precisamos analisar é o integrando: escolher a melhor ordem de integração. Para escolher a melhor ordem precisamos pensar nas variáveis separadamente. Se considerarmos x constante, a integral resultante é fácil de resolver? Se a resposta for sim nossa ordem é

d y   d x

E se a resposta for não? Então a ordem é d x   d y . Beleza?

mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Temos essa integral aqui

∬ R y   1 + x y d A

Considerando x constante, ficamos com a integral de y 1 + y que é bem difícil! Então nossa ordem de integração é

d x   d y

E a integral fica

∫ 0 1 ∫ 0 1 y   1 + x y   d x   d y

Tudo bem até aqui? Vamos começar resolvendo em x :

u = 1 + x y ,   d u = y   d x

Quando x = 0 ,   u = 1 . Quando x = 1 ,   u = 1 + y

∫ 0 1 ∫ 1 1 + y u   d u d y = ∫ 0 1 2 3 u 3 u = 1 1 + y d y

E aplicar os limites de integração

2 3 ∫ 0 1 1 + y 3 - 1 d y

Beleza?

Passo 3

Agora pra ter certeza de que estamos no caminho certo precisamos que a variável x tenha sumido! Teremos uma integra apenas em y :

2 3 ∫ 0 1 1 + y 3 - 1 d y

= 2 3 ∫ 0 1 1 + y 3 / 2 d y - 2 3 ∫ 0 1 d y

Agora é só integrar

u = 1 + y ,   d u = d y

Quando y = 0 ,   u = 1 . Quando y = 1 ,   u = 2

2 3 ∫ 1 2 u 3 / 2 d u - 2 3 y 0 1 = 2 3 2 5 u 5 2 1 2 - 2 3

= 2 3 8 2 5 - 2 5 - 2 3

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

2 3 8 2 5 - 2 5 - 2 3

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração.49. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Inverta a ordem de integração.