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Exercícios Resolvidos de Inversão da Ordem de Integração – Coordenadas Cartesianas

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Enunciado

UFMG – Cálculo 3 – Lista 1 – Integrais duplas e triplas

1. Resolva as integrais duplas:

e) ∫ 0 1 ∫ x 2 1 y e y x d y d x

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos resolver a integral dupla.

Repara que se formos resolver nessa ordem vai ficar beeem difícil, então vamos usar a técnica de trocar a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro precisamos desenhar a região de integração:

Repara que, se mudarmos a ordem, o y vai variar de 0 até 1 e o x vai variar de 0 até y .

A integral dupla fica:

  ∫ 0 1 ∫ 0 y y e y x d x d y

Passo 3

Pra resolver a integral de dentro, vamos usar substituição simples (atenção, pois estamos integrando em relação a x ):

u = y x

d y = y d x

E os limites de integração ficam:

x = 0 → u = 0

x = y → u = y

E a integral dupla fica:

  ∫ 0 1 ∫ 0 y y e y x d x d y =   ∫ 0 1 ∫ 0 y e u d u d y

=   ∫ 0 1 e u 0 y d y

=   ∫ 0 1 e y - 1 d y

= e y - y 0 1

= e 1 - 1 - e 0 - 0

= e - 2

Resposta

e - 2

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração.49. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Inverta a ordem de integração.