Exercícios Resolvidos de Inversão da Ordem de Integração – Coordenadas Cartesianas
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Integrais duplas sobre regiões gerais
Calcule
Passo 1
Ok, não conseguimos integrar isso aí de cara, né? Pelo menos não em , mas em seria tranquilo, certo?
Vamos tentar trocar essa ordem de integração então para ver se fica mais fácil. Temos as seguintes equações:
Para entender o gráfico de , podemos pensar na função , que conhecemos. Temos isso aqui:
Passo 2
Pelo gráfico, vemos que varia entre a curva e e que varia entre e . Mas para escrever essa região como tipo II, precisamos isolar o em , não é? Isso nos dá . Então .
E temos variando desde até (podemos ver isso no gráfico). Pronto, basta levar esses valores para a integral de forma invertida, teremos:
Você verá que essa troca facilitará muito nossa vida!
Passo 3
Vamos integrar, então, em relação a :
Passo 4
Agora, vamos integrar em :
Resposta
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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração.49. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos x1 + cos 2 xd xd y
Inverta a ordem de integração.