Exercícios Resolvidos de Inversão da Ordem de Integração – Coordenadas Cartesianas
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Integrais duplas sobre regiões gerais
Calcule
Passo 1
Vamos esboçar essa região de integração para entender melhor o problema.
Temos como intervalo inferior de a equação da curva . Você sabe desenhar isso aí? Não precisa ser nada preciso não, é só para termos uma ideia! Você pode pensar na curva para desenhar essa função, que é bem parecida. Vamos fazer uma curva com o mesmo formato de (que nós conhecemos), lembrando de passar ela pela origem, pois quando temos . Beleza?
Agora vamos desenhar a outra extremidade do intervalo, , que é uma constante (uma reta paralela ao eixo ).
Podemos ver, pela integral, que , não é? Então, a região que nós temos é essa aqui:
Passo 2
Analisando a questão, percebemos que temos um problema: . Não sabemos calcular essa integral, por isso, usaremos um artifício para fugir dela, inverter a ordem de integração. Precisamos, então, reescrever a região acima como tipo II.
Pelo gráfico, vemos que varia entre e e que varia entre e a curva azul (). Mas para escrever essa região como tipo II, precisamos isolar o em , não é?
Logo, temos variando desde até . Pronto, basta levar esses valores para a integral de forma invertida, teremos:
Você verá que essa troca facilitará muito nossa vida!
Passo 3
Vamos integrar, então, em relação a :
Passo 4
Pronto, agora só precisamos resolver essa integral aí, vamos fazer por substituição:
Aplicando esses valores à nossa integral, temos: